Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 4/3.  Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

накидаем чертёжик согласно условию. (Нарисую 2 раза чтоб не захламлять)
1) Так как tg(∠BAC) = 4/3 - отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, то BC = 4x, AC = 3x
2) Тогда по теореме Пифагора AB = √((4x)² + (3x)²) = √(25x²) = 5x
3)Заметим, что получили прямоугольный треугольник ABC с высотой CP из прямого угла. А как известно таким образом получаются подобные треугольники.
То есть ∆ABC подобен ∆CBP по двум углам (∠P = ∠C = 90° и ∠CBP = ∠CBA - общий угол)
4) А в подобных треугольниках все соответсвующие линейные элементы пропорциональны с коэффициентом подобия этих треугольников
То есть радиусы вписанных окружностей относятся R/r = k - коэффициент подобия
A коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон, например гипотенуз.
k = AB / BC = 5x / 4x = 5/4
R/r = 5/4
R/8 = 5/4
R = 5•8/4 = 5•2 = 10
Ответ: 10