Диагонали выпуклого четырехугольника АВСD пересекаются в точке М. В треугольники АМВ, ВМС, СМD и AMD вписаны окружности с центрами О₁, О₂, О₃ и О₄ соответственно.
А) Докажите, что площадь четырёхугольника О₁О₂О₃О₄ равна (O₁O₃*O₂O₄)/2.
Б) Пусть прямая O₂O₄ пересекает стороны ВС и AD в точках Р и Q соответственно. Найдите  отношение AQ:QD, если  известно, что около четырехугольника АВСD можно описать окружность, а отношение площадей треугольников СМР и ВМР равно 3:2.

О₁ - центр окружности, вписанной в ∆АМВ, следовательно:
∠АМО₁ = ∠ВМО₁
аналогично, также:
∠СМО₂ = ∠ВМО₂
при этом:
∠АМО₁ + ∠ВМО₁ + ∠СМО₂ + ∠ВМО₂ = 180°
2*(∠ВМО₁ + ∠ВМО₂) = 180°
∠ВМО₁ + ∠ВМО₂ = 90°
т.е диагонали четырёхугольника О₁О₂О₃О₄ пересекаются под прямым углом
площадь четырёхугольника О₁О₂О₃О₄ равна сумме площадей треугольников ∆О₁О₂О₄ и ∆О₂О₃О₄
следовательно площадь четырёхугольника О₁О₂О₃О₄ равна:
1/2*О₁М*О₂О₄ + 1/2*О₃М*О₂О₄ = 1/2*(О₁М + О₃М)*О₂О₄ = (O₁O₃*O₂O₄)/2
О₂ - центр окружности, вписанной в ∆ВМС, следовательно:
∠СМО₂ = ∠ВМО₂
аналогично, также:
∠АМО₄ = ∠DМО₄
следовательно:
∠СМО₂ = ∠ВМО₂ = ∠АМО₄ = ∠DМО₄
при этом:
∠ВСА = ∠BDA (т.к данные углы опираются на одну и ту же хорду АВ)
треугольники ∆РМС и ∆DMQ подобны (т.к у данных треугольников 2 угла равны), следовательно:
СР/DQ = РМ/MQ
аналогично доказывается, что треугольники ∆РМВ и ∆AMQ подобны, следовательно:
ВР/АQ = РМ/MQ
следовательно:
СР/DQ = ВР/АQ или:
АQ/DQ = ВР/СР
отношение площадей треугольников ∆СМР и ∆ВМР равно 3:2 следовательно:
ВР/СР = 2/3 (т.к высота, опущенная из точки М на ВС у ∆СМР и ∆ВМР - общая)
ответ:
АQ/DQ = 2/3