В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?
в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10 %. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Решаем а)
Например в Школе №1 было 2 ученика. Первый написал на 1 бал, второй на 19 балов. Средний бал (1+19)/2 = 10
Когда второй ученик перешёл в другую школу, то остался 1 ученик и его средний бал стал = 1, что в 10 раз меньше.
Да, такое могло быть
Решаем б)
Предположим средний бал = 7, тогда уменьшение на 10% даст средний бал 7•0,9 = 6,3
То есть (a₁ + a₂ + ... + aₓ)/x = 6,3
откуда (a₁ + a₂ + ... + aₓ) = 6,3•х Слева стоит сумма натуральных чисел - число натуральное.
Значит 6,3х - натуральное число. Но это может быть при минимальном х = 10, а по условию х < 10, всего 9 человек.
Не может такого быть
Решаем в)
Пусть было х учеников во 2-й школе и средний бал = m, причем 2 ≤ х ≤ 7
(a₁ + a₂ + ... + aₓ)/x = m или (a₁ + a₂ + ... + aₓ) = х•m
Пришел (х+1) ученик и средний бал стал 0,9•m
(a₁ + a₂ + ... + aₓ + aₓ₊₁)/(х+1) = 0,9m
или
(a₁ + a₂ + ... + aₓ + aₓ₊₁) = 0,9m•(х+1)
xm + aₓ₊₁ = 0,9m•(х+1)
m = aₓ₊₁/(0,9 - 0,1x) = 10•aₓ₊₁/(9-х)
Теперь рассмотрим условие для первой школы
(aₓ₊₁ + aₓ₊₂ + ... + a₉)/(9-x) = k или (aₓ₊₁ + aₓ₊₂ + ... + a₉) = k(9-x)
когда забрали aₓ₊₁
(aₓ₊₂ + ... + a₉)/(8-х) = 0,9k или (aₓ₊₂ + ... + a₉) = 0,9k(8-x)
Получаем
0,9k(8-x) + aₓ₊₁ = k(9-x)
aₓ₊₁ = 1,8k - 0,1kx = k•(1,8-0,1х) - это должно быть натуральное и минимальное
При данных условиях получим минимальное при k = 2; x = 3, тогда aₓ₊₁ = 3
Подставляем данные для рассвета среднего в школе №2
m = 10•3/(9-3) = 30/6 = 5
Приведем пример:
В школе №1 6 учеников набрали 2; 2; 2; 2; 1; 3 - средний бал: (2+2+2+2+1+3)/6 = 2
Когда уйдет ученик с 3 балами, то  (2+2+2+2+1)/5 = 1,8
и 2 - 1,8 = 0,2 - как раз 10% от 2 на которое прошло уменьшение
В школе №2 3 ученика набрали 5; 5; 5; - средний бал: (5+5+5)/3 = 5
Когда прийдет ученик с 3 балами, то  (5+5+5+3)/4 = 4,5
и 5 - 4,5 = 0,5 - как раз 10% от 5 на которое прошло уменьшение
Ответ: минимально 5 балов.