Гонец ехал на лошади, чтобы доставить послание Илье Муромцу. В какой-то момент он заметил, что Илья Муромец прошёл мимо него (и продолжает идти в противоположном направлении). Спустя 10 секунд (когда лошадь остановилась) гонец спешился и побежал догонять Илью. Через сколько секунд гонец доставит послание, если он бежит в два раза быстрее Ильи Муромца, но в пять раз медленнее скачущей лошади

Условно скорость Ильи Муромца пусть 1 м/с, тогда скорость гонца 2 м/с, а скорость лошади 10 м/с. Когда гонец спешился расстояние между ним и Ильёй составило : 1×10+10×10=110 м.
Пусть гонец догонит Илью через х секунд тогда :
110+у=2х
у=1х,где у-расстояние которое пройдёт Илья за эти х секунд.
Тогда:х=110 секунд
Ответ : гонец доставит послание через 110 секунд.
                                                                              

Задачка скорее на умение размышлять, чем решить математическое уравнение, - развивает логику. Гораздо проще, когда все цифры даны, а здесь их надо представить и потом, исходя из этих данных, решить.
Условно обозначаем скорость, с которой двигается Илья Муромец - 1 м/с. Тогда гонец двигается  в два раза быстрее, то есть 2 м/с. Гонец двигается медленнее лошади в 5 раз, то есть лошадь скачет в пять раз быстрее: 2 х 5 = 10 м/с - скорость движения лошади.
Когда Илья Муромец поравнялся с гонцом, то от точки, где повстречались, двигались в разные стороны еще в течение 10 секунд. За это время Илья Муромец двигался в обратную сторону от гонца со своей скоростью 1 м/с, значит он прошел за 10 секунд - 10 м. А гонец скакал 10 секунд от точки встречи с богатырем на лошади, скорость которой - 10 м/с, то есть преодолел верхом - "10 х 10 = 100 м". Теперь получается, что от точки, где "разминулись", Илья Муромец ушел в одну сторону на 10 м, а гонец проскакал на лошади на 100 м, то есть между ними теперь разница в 110 метров, на которые необходимо вернуться гонцу, чтобы догнать Илью Муромца.
Теперь между гонцом и Ильей Муромцем - 110 м. Следовательно, эти 110 метров гонец преодолеет со своей скоростью 2 м/с за 110/2=55 секунд, при условии, что Илья Муромец остановился. Но Илья Муромец тоже прошел какое-то расстояние за эти 55 секунд, - со скоростью в 1 м/с он прошел "55 х 1 = 55 м", которые тоже еще надо преодолеть гонцу. Гонцу понадобится преодолеть 55 метров, за это время снова Илья Муромец уйдет вперед. Но так как гонец бежит в два раза быстрее, то через еще 55 метров оба сойдутся в одной точке, за это время Илья Муромец два раза пройдет 55 м, то есть пройдет 55 х 2 = 110 м, которые гонец преодолеет за 55 сек со скоростью 2 м/с. Ему надо два раза пройти расстояние за 55 секунд, то есть всего уйдет 110 сек.

Гонцу нужно 50 секунд, чтобы вернуться и добежать ровно до того места, откуда он заметил Илью Муромца.
За эти 50 секунд Илья Муромец успел удалиться от гонца на расстояние, равное 25-ти секундам бегам гонца.
Если бы Илья Муромец тут же бы остановился и стал ожидать гонца, то тот бы добежал до него за эти 25 секунд, однако, Илья Муромец продолжал идти, то теперь гонцу нужно уже в два раза больше времени, что его догнать.
Ответ: 50 секунд.