Помогите найти все решения для данной системы
2x^2 + y = 1,
2y^2 + z = 1,
2z^2 + x = 1

Можно сразу обратить внимание на , например , у=1-2*х^2. Очень похоже на косинус двойного угла. Ну и отсюда попытки решения
                                                                              

Не очень понятен вопрос про "нестандартное решение". Что это?
Дальше спрашивается найти все решения. И это довольно таки длинный ответ. Скажу сразу, что полностью вычислять не буду. Но общую линию покажу.
Два решения можно найти почти сразу, без общего решения. В силу того что уравнения однотипные и возможны симметричные решения.
Например сложим все уравнения и получим 2x² + y + 2y² + z + 2z² + x = 1+1+1
Перегруппируем слагаемые:
(2x² + х) + (2y² + y) + (2z² + z) = 1 + 1 + 1
Понятно, что одно из решений будет, когда 2x² + х = 1 (и аналогично для y и z)
Решая квадратное уравнение: 2x² + х - 1 = 0 получим корни х₁ = -1; х₂ = 1/2
Аналогично получим корни: y₁ = -1; y₂ = 1/2 и z₁ = -1; z₂ = 1/2
То есть нашли уже 2 решения: х₁; y₁; z₁ = (-1; -1; -1) и х₂; y₂; z₂ = (1/2; 1/2; 1/2)
Теперь подстановкой будем решать в общем виде:
из 1 уравнения: y = 1 - 2x², подставим во 2-е и выразим z
z = 1 - 2y² = 1 - 2(1-2x²)² = -1 + 8x² - 8x⁴, подставим в третье уравнение и получим
2•(-1 + 8x² - 8x⁴)² + х = 1, получим
128х⁸ - 256х⁶ + 160х⁴ - 32х² + х + 1 = 0
Имеем многочлен 8-й степени, то есть будет не более 8-ми решений.
2 решения знаем. Соответсвенно разделим многочлен на (х+1) и на (х-0,5)
Получим (х+1)•(х-0,5)•(128х⁶ - 64х⁵ - 160х⁴ + 48х³ + 56х² - 4х - 2) = 0
Первые два корня мы уже нашли и они нам не интересны. Остался многочлен 6-й степени. Сократим его на 2
64х⁶ - 32х⁵ - 80х⁴ + 24х³ + 28х² - 2х - 1 = 0
Хорошо бы, если данный многочлен можно было разложить на множители (многочлены с низкими степенями)
И действительно его можно разложить на два множителя:
(8х³ - 6х - 1) • (8х³ - 4х² - 4х + 1) = 0
Получается два кубических уравнения
1) 8х³ - 6х - 1 = 0
и
2) 8х³ - 4х² - 4х + 1 = 0
Ну а кубические уравнения прекрасно решаются например при помощи формулы Кордано.
Рациональных корней тут более не будет и слишком муторно выписывать все радикалы.
Все 6 корней окажутся вещественными числами.
Да, еще можно заметить, что получив некий корень для х и соответсвенно для него значения y и z. То в силу симметрии уравнений в системе. Будет другое решение, где значения х; y; z будут меняться местами. То есть посчитав 1 решение, на самом деле найдем 3 решения.
3 решения для одного кубического уравнения + 3 решения для другого и + 2 решения с совпадающими с друг другом рациональными корнями
Итого 8 решений.   

Поскольку просили "нестандартное решение". Предложу другое решение. Правда тоже до конца доводить не буду.
Смотрим на уравнения
2x² + y = 1,
2y² + z = 1,
2z² + x = 1
Что - то они напоминают. М-м...
А если вот так?
2x² - 1 = y,
2y² - 1 = z,
2z² - 1 = x
Вот - вот. Уже близко. что-то типа 2cos²α - 1 = cos2α (похоже?)
Тогда сделаем замену: х = cos(t) и получим
2cos²(t) - 1 = -y (а учитывая формулу косинуса двойного угла)
y = -cos(2t)
Далее аналогично подставляем y во второе уравнение
2cos²(2t) - 1 = -z
z = -cos(4t)
Ну и аналогично подставляем z в третье уравнение
2cos²(4t) - 1 = -х
х = -cos(8t)
Итак пришли к уравнению -cos(8t) = cos(t)
или cos(8t) + cos(t) = 0
При этом х = cos(t); y = -cos(2t); z = -cos(4t)
Если это продвинутый школьник, знакомый с тригонометрическими функциями, он догадается, что будет 8 решений. Но вот сможет ли он решить это уравнение? (Оставлю это)
П.С. Пока писал в преддверии подготовки к Новому Году (отвлекался). Рядом уже написали подобный ответ.