Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке P, BP=15, CP=6, DP=10. Найдите АР.

Решаем правильно!
Вообще правило простое. Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть AP•PC = BP•PD
Но если не помним этого правила, то аккуратно его выводим.
Смотрим рисунок
Проведем ещё отрезки AB и CD и получим подобные треугольники ∆ABP и ∆DCP (по двум углам)
углы P - вертикальные и ∠B = ∠C -вписанные углы опирающиеся на одну дугу AD.)
Так же будут равны ∠A = ∠D, как опирающиеся на одну дугу BC
Раз треугольники подобны, то соответственные стороны относятся одинаково.
То есть, что бы записать правильно отношение, надо правильно определить какая сторона будет относиться к какой.
Начинаем с одного треугольника (например с ∆ABP). И соответственные стороны лежат напротив равных углов
Берем BP - он лежит напротив ∠A; в ∆CDP, ∠D=∠A и напротив ∠D лежит PC
Поэтому BP/PC
Аналогично AP/PD
получаем равенство: BP/PC = AP/PD
Откуда: AP•PC = BP•PD
Надо найти AP = BP•PD/PC
AP = 15•10/6 = 25 см
Ответ: AP = 25 см
                                                                              

По условию имеем две пересекающиеся хорды - АС и ВД.
Точка Р - место их пересечения.
Известно также, что ВР - 15, СР - 6, ДР - 10.
Необходимо узнать, чему равен отрезок АР - ?.
Наши хорды пересекаются, это известно из условия, также нам известно из свойств, что
АР*РС = ДР*РВ, отсюда мы можем вывестиАР = (РВ*ДР):РСАР = (15*10):6АР = 150:6АР = 25 Ответ: 25.

Покажем решение на рисунке. Как видите я построил хорды АС и BD, их точку пересечения Р и дополнил рисунок двумя отрезками АВ и DС. Получили два треугольника. Их соответствующие углы равны: угол АРВ = угол DРС (как вертикальные), угол ВАР = угол РDС и угол АВР = угол DСР (как вписанные углы, опирающиеся на одинаковые дуги).
Значит эти треугольники подобны, это означает, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны.
АР:РС = ВР:РD. Из этого равенства найдем АР, АР=  ВР*РС/РD= 15*6/10=90/10=9. Ответ: 9.