Как это решить Как правильно сказать: мама детей-погодок или детей-погодков? Почему?.

Имя существительное "погодок" (кто?) имеет падежные формы единственного и множественного числа.
В примере речь идёт о множественном числе, но в особенном значении - в роли приложения. Оно характеризует существительное "дети". Это сущ-е стоит в форме родительного падежа, приложение при этом согласуется с ним.
Получаем вариант - детей-погодков.
Для информации: форма "погодок" - это единственное число именительного падежа.
Полная парадигма всех падежей:
                                                                              

Правильно говорить детей- погодок, слова погодков не существует, склоняется только в двух вариантах погодки и погодок