Как будет правильно в правописании: заболачивать или заболочивать?
Какое правило русского языка действует?

Речь в вопросе идет о правописании глагола.
Выясним, в какой части данного инфинитива находится "трудное" место. Разберем неопределенную форму глагола из вопроса по составу: за-бол*ч-ива-ть - приставка-корень-суффикс начальной формы-окончание/аффикс инфинитива.
Что интересно, орфограмма находится под ударением, а мы сомневаемся в написании.
Совершенно очевидно, что данный глагол и имя существительное болото ( болот-о - корень-окончание ) являются однокоренными словами, так как глагол имеет значение "сделать топким/превратить в болото". Мы столкнулись с чередованием в корне болот-/болач-, что в нашем родном языке редкостью не является.
Кстати, в вопросе глагол несовершенного вида ( что делать? ), а его видовая пара - заболОтить ( что сделать? ) пишется через о. А вариант заболАчивать, актуальный в наши дни, раньше был менее востребован, чем заболОчивать. Сейчас же форма заболОчивать считается устраевшей. 
                                                                              

Согласно правилам русского языка единственно верным вариантом написания данного слова будет "заболачивать", поскольку ударение падает прямо на проблемный слог "лач" и четко обозначает написание гласной "а" в этом слове. Проблемы могут возникать лишь с безударными гласными, что не попадает под данный случай.