Т твердая или мягкая?

Имя существительное "альтернатива" имеет иноязычное происхождение: образовано во французском языке из латинских корней.
В другие языки оно пришло именно из французского.
Смотрим словарь иностранных слов Т. Егоровой.
 Современная русская орфоэпия сохраняет твёрдый звук (не букву!) [т] во 2-м слоге, поэтому верный вариант только один - аль[тэ]рнатива, пишем, разумеется, транскрибированную часть как "те".
                                                                              

Поскольку слово "альтернатива" иностранного происхождения, буква "т" в середине слова произносится твердо (альтЭрнатива), хотя и пишется "е". Многие англицизмы отличаются подобным произношением.