Как будет правильно: башеный или башенный?
С одной Н или с двумя НН?
БашеНый или башеННый?
Какая это часть речи?

Слово "башня" обозначает предмет, отвечая на вопрос "что?", то есть это имя  существительное.
Оно изменяемое, относится к первому типу склонения как существительное женского рода с окончанием "-я".
Отделяя это окончание, видим значимую часть слова, корень  "башн-". Если образовать однокоренные слова, например, "башен/к/а",  то этот корень приобретет еще одну буковку -- беглый гласный "е".
Он помогает  произносить это новое слово более удобно, без всякого напряжения из-за   нагромождения неудобопроизносимых согласных звуков,  для чего и "прибегает" в слово.
Точно так же этот беглый гласный появляется и в однокоренном прилагательном "башен/ный", образуемом при помощи очень даже продуктивного суффикса прилагательных "-н-". Поэтому в заданном слове и пишется удвоенный согласный -- один на конце корня, второй -- присоединяемый суффикс  прилагательного.
Примерами такого написания прилагательных служат образованные от существительных однокоренные:
весна - весенний, песня - песенный.
                                                                              

Слово "баше(н/нн)ый" является прилагательным мужского рода и чтобы понять, как пишется "башеНый" или "башеННый" - обратимся к правилам русского языка.
Прилагательное "баше(н/нн)ый" образовалось от существительного "башня" путем слияния корня "башен" и суффикса "н", где прослеживается удвоенная НН.
Пишем правильно: башеННый.
Этот башеННый кран выполнял главнейшую роль в постройке многоэтажного дома.