При чём тут глаголы "висеть" и "лежать"?

Если русский вариант ещё имеет какое-то отношение к висению, то украинский почти никак не связан с лежанием.
Почему по-русски можно именно зависеть, а не делать что-нибудь иное, ответа из внутриязыковых ресурсов нет. Есть мнение, что это очень древняя калька с древнегерманских языков (диалектов). Да, не было ещё никакого единого литературного немецкого языка, а были всякие языки да наречия, причём на начальном этапе невозможно даже разделить славян на восточных, западных и южных.  Будучи языковыми родственниками славянам и балтийцам, германские племена находились на более высоком уровне культурного развития, поэтому влияли на них, и это влияние не могло не отразиться на языках.
Почему так получилось? Возможно, потому, что германцы первыми дошли до более благодатных регионов, а где лучше с ресурсами, там резвее возникают и развиваются любые цивилизации. Те же германцы многому научились у римлян, которые многому научились у греков... Знания и слова передавались по цепочке, и вот так, например, из древнегреческого "дискос" появилась самая обычная "доска". В передаче идеи (и слова) плоского обработанного объекта, с которым можно всякое делать, например, с которого можно есть, поучаствовала вся цепочка перечисленных народов. И если для кого-то греческий "дискос" - это нечто круглое и керамическое, то нелишне вспомнить, что у народов средиземноморья до сих пор принято есть сыр с гладко отполированных деревянных досок, и все мы знаем, как выглядит разделочная доска.
Итак, есть мнение, что в создании слова "зависеть", поучаствовала германская словообразовательная модель, ср. немецкое abhängen и нидерландское afhangen.
Украинское залежати имеет семантическую и этимологическую родню в русском языке: залог, заложить (в ломбард, а не в том смысле, в каком это из бандитского жаргона пошло в язык масс), заложник. И "ложат", чтоб "лежало" в этом случае некое ценное имущество (или захватывают человека) как гарантию возврата каких-либо иных (обычно материальных) благ. И если кому-то связь между (не)залежнiстю (то есть (не)зависимостью) и залогом кажется натянутой, то давайте поговорим о независимости заложника - очень интересная тема, в которой понятия "свобода", "принуждение" и "зависимость" для некоторых заиграют новыми красками...
Почему же в русском языке до сего дня дожила калька с древнегерманского, а в украинском используется "самоделка"? Неисповедимы пути популярности конкретных слов! В том же укр. яз. нет слова "залог", а есть "застава", нет "заложника", есть "заручник". То есть имущество там не "ложат", а "ставят", а человека используют как "ручательство". Такова внутренняя логика развития языка. Простые решения, когда всё родственное происходит от одного корня и звучит одинаково, в языковой практике часто не приживаются. О языковых странностях предлагаю поудивляться на примере троицы "клад - заклад - закладка". Наши предки не только "ложили" имущество, не только "ставили" его, то и "клали" - во как!
                                                                              

Потому что  "незалежность" - это не только украинское слово. И тем более - не "искусственно придуманное украинское слово". Украинская слово "незалежність",  как и беларуское - "незалежнасць", как и польское -  "niezależność" , представляют собой лишь современную форму  антонима  от древнеславянского слова "залежати" - современный перевод на русский как  "зависеть". Соответственно, "не залежати" - "не зависеть" (ни от кого и/или ни от чего).
Само слово "залежати" состоит из древнеславянского/индоевропейского предлога "за-" ("сзади, под, из, из-за")   и древнеславянского глагола  "лежати" (лежать).  Смысл слова - "лежаший под (кем-то)"  или "лежащий сзади" - и подразумевает древнее понятие подчинённости или зависимости "лежащего" от того, кто "выше" или "впереди".
Остается добавить, что глагол "залежати" ("зависеть")  употреблялся и в русском дореволюционном языке:
Что касается русской "независимости"
(а также : сербско-хорватская nezavisnost, чешская nezávislost, болгарская независимост и даже  словенская neodvisnost),
то это противоположность  "зависимости", которая приведёт нас к древнеславянскому слову "висети" - в смысле
Источник
И не думаю, что эти филологические исследования должны доказать, какой народ из двух упомянутых - "лучше", или  - "чья независимость сильнее"?  Очевидно, что у наших предков-славян и "лежание", и "висение"  одинаково означало в переносном смысле какое-то зависимое положение одного члена общества перед другим. А может - и буквальное: рабы, холопы или пленные, скорей всего,  часто действительно физически и "залежали" , и "зависали" перед "незалежным" господином или "независным" победителем.

Хорошо, когда есть над чем поразмыслить. В русском и украинском языках одно и то же слово может произноситься абсолютно по разному. Но попробую поразмыслить.
Независимость.
Приставка: не
Корень: завис
Суффиксы: им, ость.
Зависнуть - значит, перестать двигаться, остановиться. Приставка "не" означает, что остановки нет, есть развитие и продвижение вперёд.
Незалежнiсть.
Приставки (префiкси): не, за.
Корень: леж.
Суффиксы: н, iсть.
Лежать - значит, перестать двигаться, остановиться.
Приставка "не" означает, что остановки нет, есть развитие и продвижение вперёд.
Как видно, слово "незалежнiсть" имеет тот же смысл, что и слово "независимость".
Сразу скажу, что я не специалист в этой области и это чисто мои умозаключения.

Оба понятия взяты из математики. Только у укров модель двухмерная и иллюстрируется графиком функции на плоскости. И график при этом лежит. Или множество точек для эллипса, гиперболы, параболы и т.д. А у русских - трехмерная и значения функции подвешиваются над двухмерными точками над плоскостью значений.