Как это решить Беговел или беговэл? Как правильно? Почему?.

Правильно "беговел". Образовано из двух слов "бегать" и "велосипед" ("велосипед", тоже из двух "velox"(скорость) и "pedis"(ноги)).
Ну да, кривое слово сляпанное из нашего русского и половины латинского.
Кстати, первый велосипед "selerifere" был именно тем что теперь называют "беговел", ездок ногами отталкивался от земли, безо всяких педалей.