Как правильно: бормочущий или бормочащий (во сне)?
Какой суффикс "ащ" или "ущ"?
БормочУщий или бормочАщий?
Как объяснить правописание?
Какая часть речи?

Слово "бормоч(а/у)щий" является действительным причастием и чтобы понять, какой суффикс "ащ" или "ущ", как пишется "бормочАщий" или "бормочУщий" - вспомним правило русского языка.
Причастие "бормоч(а/у)щий" образовалось от глагола неопределенной формы "бормотать", заканчивающего на "ать", что по определению относится к первому спряжению. Такие причастия имеют суффикс "ущ", поэтому пишем правильно: бормочУщий.
БормочУщий во сне сержант, часто создавал беспокойство ночью многим солдатам.

Слово "бормочу(а?)щий" - это действительное причастие, настоящего времени, отвечает на вопрос - что делающий? Оно образовано от глагола несовершенного вида - что делать? - "бормотать".
Глагол "бормотать" заканчивается на "-ать", что причисляет его к глаголам первого спряжения.
Причастия указанной грамматической формы, образованные от глаголов первого спряжения пишутся с суффиксом "-ущ-/-ющ-"; от глаголов второго спряжения - с суффиксм  "-ащ-/-ящ-". Например: "бежать - бегущий", "думать - думающий"; но "лечить - лечащий", "красить - красящий".
Поэтому пишем причастие с суффиксом "-ущ-" - "бормочущий". Например: "бормочущий во сне человек".