Как правильно пишется слово "онемелый"?
Какие есть к нему проверочные слова?
Какая это часть речи?

Все, наверное, слышали не раз в детстве поговорку, если за столом начинали болтать с набитым ртом, то родители им говорили: "Когда я eм - я глух и не́м!"
Поэтому слово "не́м" нам известно.
Можно представить, что каждый, кто будет много разговаривать во время приёма пищи, на самом деле станет онемелый (значит потеряет возможность говорить).
Какой? — онеме́лый — является качеств. прилагательным, мужск. р., един. ч.
о-нем-е-л-ый
приставка—корень—суф�фикс—суффикс—окончан�ие
Ударение падает на гласную -e —суффикс
Приставка по правилам русского яз. возможна только о- ( а- приставки не бывает).
Написание безударной гласной в корне может быть проверено.
Подбираем следующие проверочные слова: не́м, вне́млет.
                                                                              

Владислав, онемелый от изумления, смотрел на перекрашенную Василису и не мог произнести ни слова.
В такой мороз и перчатки не спасали, пришлось дуть на онемелые пальцы.
Заданное слово отвечает на вопрос "какой" ("какие?"), обозначает постоянный признак предмета. Это имя прилагательное.
В этом прилагательном две орфограммы. Какие? Чтобы выяснить это, посмотрим на словообразовательную цепочку:
немой => неметь => онеметь => онемелый.
Во всех этих однокоренных словах, образованных от прилагательного "немой",   ударение падает на суффикс "-е", безударными оказываются корень и приставка.
Это и есть орфограммы, которые следует проверять.
Итак. Приставка "о-" в русском языке единообразна, она не имеет пары, только "о" правильно писать, другого варианта нет.
Теперь о корне. Гласная "е" в корне легко проверяется однокоренным прилагательным в краткой форме "нем" (он нем как рыба) или наречием "немо" (животное немо).
Вот и все орфограммы.

Онемелый.
Правильное написание - онемелый с ударной гласной "е" в третьем слоге - онемЕлый.
Проверочного слова нет, слово следует заучить и запомнить, либо воспользоваться орфографическим словарём.
Часть речи - прилагательное.