Как решить В чем отличие слов давний и давнишний, это синонимы?.

Оба слова "давний" и "давнишний"  одной части речи - прилагательные, отвечают на вопрос - какой?
Эти  слова являются синонимами - они имеют близкое лексическое значение, но пишутся и звучат по-разному.
Их значение - старый, прежний, былой, минувший, стародавний.
Кроме того, надо обратить внимание на ударение в слове "давнИшний", - оно не всегда произносится верно. В этом прилагательном ударение падает  на суффикс "-ишн-". В слове "давний" ударение не вызывает сомнений - "дАвний", на первом слоге.
Приведем пример предложения:
Мы с Олегом давние (давнишние) друзья, - вместе заканчивали мореходное училище.                                                                               модератор  выбрал этот ответ лучшим

В отношении этих имён прилагательных можно сказать, что они являются стилистическими синонимами.
Это значит, что различие между ними (за исключением, конечно, суффиксов) только в сфере употребления: "давний" - нейтральный, литературный вариант, а "давнишний" - вариант разговорный.