Как следует писать правильно (по)вечернему,раздел�ьно или через дефис?

Выбор правильного написания будет зависеть, к какой части речи относится это слово в контексте. Дело в том, что наречия образуются путем перехода одной части речи в другую, и застывают в той форме, в которой перешли, поэтому у них особенное правописание.
Прилагательные с предлогами пишут раздельно, у слов, перешедших в наречия из прилагательных через дефис, потому что предлог становится приставкой. Определяют правописание по вопросу от главного к зависимому. У наречий главным словом является чаще всего глагол, у прилагательных - существительное.
Рассмотрим два случая: По вечернему небу плывут облака. По небу какому? вечернему. Слово вечернее - это прилагательное, пишем раздельно.
Было прохладно как? по-вечернему. - это наречие, пишем через дефис по правилу: