Как правильно пишется слово "каракулевый"?
Какие правила русского языка здесь можно применить? Где можно сделать ошибку?
Какие проверочные слова применимы к слову "каракулевый?

Заданное слово произносится с ударением на второй слог с гласной "а" -- карАкулевый.
В слове имеются две орфограммы: безударная гласная "а" в первом слоге и безударная гласная "е" в четвертом слоге.
Гласную "а" проверить невозможно ни подбором однокоренных слов с ударной гласной, ни изменением формы слова, в этой части слово принадлежит к словарным.
Можно обратиться к происхождению и запомнить правописание его  будет легче. Существительное, от которого заданное прилагательное образовано, имеет тюркские корни. Оно представляет собой собственное название оазиса в Бухаре -- Каракуль. Именно здесь выводилась такая порода овец.
Вторая орфограмма -- в суффиксе прилагательного. Здесь нужно просто применить правило, утверждающее, что под ударением пишется суффикс "-ив-" (красивый, лживый), без ударения -- "-ев-" (полевой, алюминиевый).
В заданном прилагательном суффикс безударный, поэтому правильно выбрать вариант каракулевый.
                                                                              

По факту, каракулевый применяется к меху, есть такая порода ягнят - как раз каракулевые, из которых и делают данные меховые изделия.
Ошибиться в написании практически невозможно (как слышим так и пишем), ошибка возможна только при незнании самого слова.
А так проверочное "каракуль", хотя проверять особо нечего.
Ошибиться можно разве что в ударении, но карАкуль, соответственно карАкулевый.