С точки зрения русского языка правильно ли так говорить или это чисто профессиональный жаргон, который стал типа термином? Ни в одном словаре нет значения у слова "забор" как взятие крови.

Вопрос интересный.
У некоторых словосочетание "забор крови" вызывает ассоциации в забором вокруг дома или участка. И напрасно.
В имени существительном забор в значении "ограда" в настоящее время приставка за- не выделяется, вся морфема -забор- целиком является корнем слова.
В существительном же забор, означающем "взятие" анализов или проб, есть префикс за- и корень -бор- с "бегающей" гласной о.
Слово забор не только в значении ограждения вокруг чего-либо, но и взятия чего-либо для анализов, проб и так далее есть, например, в толковом словаре Ожегова.
Безусловно словосочетание забор крови к жаргону, а тем более к арго, никакого отношения не имеет. Хоть оно и режет многим слух, но с точки зрения русского языка с ним все в порядке.