Как решить Померимся или помериемся как правильно писать? Почему?.

Давайте разбираться в этом орфографическом вопросе.
Раз слово, орфография которого вызывает сомнения, отвечает на вопрос что сделаем? и называет действие, значит, это глагол. Он стоит в форме будущего времени 1 лица множественного числа ( мы ).
Орфограмма находится в личном окончании глагола, начальная форма которого помериться.
Это глагол 2 спряжения ( на -ить и не исключение ).
В вышеуказанной личной форме у глаголов 2 спряжения окончание -им, следовательно, к основе помер- добавляем личное окончания глагола 2 спр. в форме 1 лица множественного числа. Получаем форму померимся, вариант померимся является некорректным.