Как это решить Зоечка или Зоичка — как правильно?.

Как правильно пишется Зоечка или Зоичка,с буквой "е" или "и", узнаем,если выясним способ образования слова.
В русском языке существует тенденция образования имён от имён собственных с мягкой основой:
Таня - Танечка;
Соня - Сонечка;
Валя - Валечка;
Ваня - Ванечка.
Женское имя Зоя с помощью суффикса -ечк-, которое придает ему уменьшительно-ласкательное значение, образует имя Зоечка.
Только в словах на -иц- пишется -ичк-:
ресница - ресничка;
пуговица - пуговичка;
луковица - луковичка.
Имя Зоечка правильно пишется с буквой "е" в суффиксе.
Примеры
Не сомневайтесь, Зоечка скоро придёт.
Пойдем погуляем в парке, Зоечка!
Все знают, что наша Зоечка - это очень скромная девушка.
                                                                              

Уменьшительно-ласкат�ельная форма имени Зоя образуется с помощью суффикса. Правильно употребить суффикс "ечк".
Зоечка - так правильно.
Суффикс "ичк"  употребляется в уменьшительно-ласкат�ельных словах, которые являются существительными женского рода, образованными от основ на "иц".
лестница - лестничка
пуговица-пуговичка
умница-умничка.

Зоечка – уменьшительная форма имени пишется через суффикс "-ечк". Через "-ичк" пишутся только существительные женского рода, образованные от основ на "-иц-" (умница-умничка, лестница-лестничка).
Наша Зоечка сегодня молодец
Зоечка вышла гулять на улицу
Маленькая Зоечка пошла в садик
Неправильно
Зоичка, Зоячка

Верным вариантом является "Зоечка", так как глясная "и", по правилам русского языка должна писаться только в существительных, которые свою уменьшительно ласкательную форму образуют от существительных, которые в стандартной форме первого лица единственного числа имеют суффикс -иц-. 
Например существительное "умница" имеет суффикс "ИЦ", а потому в уменьшительно ласкательной форме в данном слове будет суффикс -ичк-, то есть правильно будет умничка.
Ну а имя Зоя суффикса "ИЦ" не имеет, а потому в уменьшительно ласкательной его форме, должен писаться суффикс "ечк" и правильно будет писать Зоечка и никак иначе. 

Чтобы не сделать ошибку в этом слове лучше всего всего провести параллель с другими именами: Юлечка, Анечка, Лилечка, Сонечка и т.д. Везде мы видим суффикс "ечк", а не "ичк". Поэтому самое простое написать Зоечка по аналогии с другими именами.
Но, конечно, в русском языке есть правило на этот счет. Оно очень простое: если в существительном женского рода в конце есть "иц", то уменьшительно-ласкательная форма пишется с "ичк", в остальных случаях пишем "ечк". Имен, оканчивающих на "иц", в русском языке нет, поэтому правильно писать все имена с "ечк". Т.е. верный вариант - Зоечка.

Правильно писать - Зоечка.
Тут срабатывает такое правило: если существительное женского рода заканчивается основой "иц", то в этом случае правильно писать суффикс "ичк". В других же случаях мы пишем суффикс "ечк".
Как видим в женском имени Зоя нет "иц", соответственно пишем "Зоечка".

Суффикс ичк используется при образовании уменьшительно-ласкательной формы женского рода сущ. только в том случае, если их основа заканчивается на иц (синица - синичка, например). Зоя на иц не заканчивается, значит, используем суффикс ечк. Следовательно, правильно писать Зоечка.