Как правильно: бекасинный или бекасиный?
БекасиНый или бекасиННый?
Как объяснить правописание?

               Есть такая птица  небольшая  с очень длинным, прямым и острым клювом — бекас.
С точки зрения русского языка это название есть имя существительное мужского рода.
От него-то и образовано другое слово, заданное имя прилагательное. Образовано при помощи суффикса "-ин-".
Прилагательные, образованные от существительных — названий птиц (или животных) при помощи указанного суффикса, пишутся с одной буковкой "н". Правильно — бекасиный.
Заметьте, что на суффикс падает ударение. Да, такой этот суффикс — всегда ударный (соловьиный, мышиный, осиный).
Раньше писали гусиными перьями, а бекасиными перьями  чертили.