Как правильно писать слово: слитно или раздельно?
Какое правило применимо?
Примеры.

Нужно просто разобраться, от какого глагола образовано заданное деепричастие. А образуется оно от глагола "неистовствовать".
Все мы знаем, что глаголы обычно пишутся с отрицательной частицей "не" раздельно. Также известны и некоторые исключения из этого правила, связанные с тем, что в русском языке есть глаголы,  без "не" не существующие и не употребляющиеся.
Вот и глагол  "истовствовать" не употребляется без "не" (а если кто-либо и употребляет, то проявляет свою безграмотность).
Есть только глагол с приставкой "не" -- неистовствовать.
Образованное от такого глагола деепричастие (как и причастия) пишутся только слитно -- неистовствуя.
Для примера: негодовать - негодуя, ненавидеть - ненавидя, небрежничать - небрежничая.
Неистовствуя, Гаврила  размахивал руками, что-то выкрикивал, но слов его никто не мог понять.
                                                                              

Есть одно правило в русском языке, которое очень легко понять, запомнить и применить. Оно касается написания отрицательной частицы НЕ с такими частями речи, как существительное, прилагательное, наречие, а также глагол и все его формы. Заключается это хорошее правило в том, что частица со словом пишется слитно и превращается в приставку в том случае, если без неё слово в языке не употребляется. Могу привести примеры с разными частями речи: невежда (существительное), неистовый (прилагательное), нелепо (наречие), несётся (глагол).
Слово "неистовствуя" является формой глагола, а именно - деепричастием, так как отвечает на вопрос "что делая?". Без НЕ это слово не употребляется, поэтому писать его нужно слитно с НЕ.
Неистовствуя и вопя, Дарья Донцова поднялась на третий этаж и только там успокоилась.

Не-это приствка и пишется слитно. Неистовствуя.
Пишется слитно, потому что это слово без "не" не употребляется.
А так деепричатия всегда с не пишутся раздельно. Исключения составляют те случаи, когда слово без "не" не употребляются, или слово образованно от глагола с приставкой -недо.