Как написать: "за Черниговым" или "за Черниговом"?
Как правильно пишется: "над Черниговом" или "над Черниговым"?

Когда пишется "под Черниговом", "за Черниговом" и "над Черниговом"? Слово "Чернигов" - это, чаще и вероятнее всего, название города. Если так, то пишут окончание "-ом", если усматривается творительн. падеж.
Например:
"Они жили под Черниговом". "Поселок находился за Черниговом". "Над Черниговом собирались пушистые облака".Когда пишется "под (за, с, над) Черниговым"? Если "Чернигов" - это фамилия (она, наверное, довольно редка), то писать следует в этих же формах окончание"-ым".
Например:
"Мы зашли за Ивановым и за Черниговым". "Вчера Сидоровы ходили с Петровым и Черниговым за грибами". "Над Петром Черниговым на работе нависли  тучи".                                                                              

Вопрос будет подробно рассмотрен на примерах:
Под Чернигов(ы?о?)м.
Город Чернигов: "Катя живёт под Черниговом" - буква "о". Фамилия Чернигов: "Косицын жил под Черниговым, на втором этаже" - буква "ы".За Чернигов(ы?о?)м.
Город Чернигов: "Эта деревня за Черниговом" - буква "о". Фамилия Чернигов: "Белов стоял за Черниговым" - буква "ы".Над Чернигов(ы?о?)м.
Город Чернигов: "Над Черниговом к вечеру нависли тучи" - буква "о". Фамилия Чернигов: "Краснов смеялся над Черниговым" - буква "ы".С Чернигов(ы?о?)м.
Город Чернигов: "Рядом с Черниговом другой город" - буква "о". Фамилия Чернигов: "Черницын беседовал с Черниговым" - буква "ы".

Исхожу из того, что речь идёт о названии города, т.е. о географическом названии.
В этом случае оно является именем существительным - неодушевлённым, собственным, относится к мужскому роду второго склонения с нулевым окончанием в формах именительного и винительного падежа.
Следовательно, склоняется точно так же, как и другие, имеющие подобные характеристики, например, слово "город".
Смотрим в сравнении.
И=В что? город/Чернигов
Р чего? города/Чернигова
Д чему? городу/Чернигову
Тв (под) чем? городом/Чернигов�ом
П о чём? о городе/о Чернигове

По правилам, если Чернигов - это город, название населенного пункта, то пишем Черниговом: чем? Черниговом, Творит пад. Но если Чернигов фамилия человека, то пишем в Творительном падеже Черниговым. разговаривал с кем? С Черниговым