Как это решить Что означает выражение "паче чаяния"? Каково происхождение? Какие синонимы?.

В фразеологизме паче чаяния слово паче - это сравнительная степень старинного наречия паки, которое имело несколько значений: "обратно", "назад", "опять", "снова", "ещё", "потом", "наоборот", "в противном случае" (одно коротенькое слово, а столько значений).
Слово чаяние означает "надежда", "ожидание".
Нам более знакомы однокоренные слова:
отчаянье (безнадежность) или нечаянный (неожиданный).
Поэтому, "паче чаяния" можно трактовать как "сверх ожидания" или "вопреки ожиданию".
Если рассматривать приведённый пример, то его можно расшифровать так:
"к полезному концу паче чаяния нашего" - всё будет так, как мы ожидаем и надеемся.
                                                                              

В славянском языке есть слово "паче". Оно обозначает сравнительную форму от слова "пакъ". На современный лад данное слово означает "еще" или "сверх чего-либо". "Паче чаяния" - сильнее, чем хотелось.
А теперь подерем синонимы (слова близкие по значению) для данного словосочетания.
Неожиданный, сверх ожидания, вопреки ожиданию, вдруг, внезапно, невольно, нечаянно, непредвиденно, врасплох, невзначай, экспромтом, спонтанный, нежданно-негаданно, скоропостижно.