Как правильно: увилевать или увиливать?
Через "и" или через "е"?
УвилИвать или увилЕвать?
Как объяснить правописание?

Слово "увиливать" - это глагол-инфинитив, отвечает на вопрос - что делать?
Разберём глагол по морфемному сотаву: "у-" - приставка, "-вил-" - корень, "-ива-" - суффикс, "-ть" - окончание, "увилива-" - основа слова.
Безударные суффиксы "-ива-" и "-ева-" в глаголах пишутся по следующим правилам.
Если глагол в форме первого лица, единственного числа, настоящего времени заканчивается на "-иваю", то пишется суффикс "-ива-". Поставим в эту форму наш глагол - что я делаю? -  "увиливаю".  Как видим, наш глагол заканчивается на "-иваю", значит, пишем "суффикс "-ива-" - "увиливать". Приведем еще примеры: "расстраивать - расстраиваю", "намыливать - намыливаю". Суффиксы  "–ева-/-ова-" пишутся тогда, когда глагол в указанной форме заканчивается на "–ую-/–юю-").
Пример предложеня с глаголом "увиливаю":
Если я увиливаю от прямого ответа, значит, на то есть своя причина.                                                                               

Правильно: увиливать.
Это глагол: увиль/ну/ть – увил/ива/ть.  Суффикс ИВА используется при образовании глагола несовершенного вида.
Проверка: увил/ива/ть – увил/ива/ю. ИВА пишется, если сохраняется при спряжении (в отличие от ЕВА).
Сравнить: ночь – ноч/ева/ть – ноч/у/ю. Чередование ЕВА/У.
Условие выбора ИВА: безударный и без чередования.