Как правильно: покоющийся или покоящийся?
ПокоЯщийся или покоЮщийся?
Как объяснить правописание?
Какая часть речия?

Покоящийся - это причастие. Оно имеет действительный залог, употреблено в настоящем времени.
Теперь нам нужно знать, от глагола какого спряжения образовано данное причастие. Причастие "покоящийся" образовано от глагола "покоиться", оканчивается на -иться, это глагол 2 спряжения. Если причастие образовано от глагола 2 спряжения, то у него суффикс -ащ-, -ящ-. Таким образом, правильное написания причастия "покоящийся".
                                                                              

Слово "покоящийся" является действительным причастием и чтобы определить, какой здесь суффикс "ющ" или "ящ", как пишется "покоЯщийся" или "покоЮщийся" - вспомним правило русского языка.
Действительное причастие "поко(ю/я)щийся" образовано от глагола неопределенной формы "покоиться", заканчивающегося на "ить", что дает нам право отнести его ко второму спряжению.
У таких причастий по определению суффиксы "ащ/ящ", поэтому пишем правильно - покоЯщийся.
Очень величаво смотрелся могущественный дуб, покоЯщийся среди себе подобных.

По правилам современного русского языка единственно верным вариантом написания слова является вариант " покоящийся", поскольку имеется чередование суффиксов "ащ" и "ящ". Поскольку образование причастия от глагола второго спряжения идёт только с помощью этих суффиксов, то другого варианта просто не может быть.