На вопросы, начинающиеся с вопросительного слова «кто», можно отрицательно ответить «никто».
На вопросы, начинающиеся с вопросительного слова «как», можно отрицательно ответить «никак».
А на нелепые вопросы, начинающиеся с вопросительного слова «почему» (например, «Почему 2+2=3?» или «Почему мужчинам после 40 нужно навсегда забыть о гавайских рубашках?»), можно отрицательно ответить «нипочему»?
Слово «нипочему» существует?
(У меня почему-то система проверки правописания подчёркивает его красным как несуществующее.)

Да, есть. Очень хорошее слово, на некоторые здешние вопросы по-другому и не ответишь, и это не только можно, но и нужно.
Вот ответ уважаемых филологов из архива службы русского языка на сайте словари ру:
Пишется конечно же слитно. Как такому наречию с приставкой "ни" и положено.
А подчеркивается красным потому, что это разговорное слово, да и не все русские слова известны роботам. Уже не первый раз замечаю, что ворд подчеркивает не то, что надо. Но употреблять слово можно совершенно спокойно.
А вот цитата из словаря русского языка Ожегова и Шведовой.
Разговорное - это, если что, не сленг какой-то и не диалектное, а вполне нормальное слово.
Пользуйтесь смело.
                                                                              

Любое слово, если его кто-то когда-то употребляет уже является существующим..
Другое дело, что существуют сленговые слова, слова, употребляемые в разговорной речи, для подчёркивания эмоциональной окраски..
Поэтому слово "нипочему" не является литературным словом, не может применяться в официальных текстах.. Но может употребляться в разговоре или художественной литературе..

Правильная запись: ни почему
(1) Слово "нипочему" похоже на  отрицательное местоименное наречие. Оно образовано от вопросительного местоименного наречия «почему» с помощью приставки НИ по обычной схеме: как – никак, куда – никуда, почему – нипочему.
Оно имеет вполне конкретное значение – без причины, просто так. А иногда отвечающий просто не хочет давать ответ (сам не знает, нельзя коротко ответить, надоел «почемучка» с его глупыми вопросами и т.д.).
Но этого слова нет в словаре. Значит, оно "неправильное"?
(2) Попробуем сравнить «нипочему» с «правильным» наречием: зачем – нЕзачем.
НЕЗАЧЕМ, местоим. нареч., в функц. сказ. Разг. Об отсутствии надобности, необходимости; нет смысла, не для чего, не нужно. Теперь н. это делать. Нам н. спорить. Н. кутать ребёнка.
Как мы видим, приставка НЕ в таком наречии стоит в ударной позиции, а вот для «почему» такое невозможно.
Парный вариант с местоимением: не за чем спрятаться, ни за чем не спрячешься.
(3) Тогда нужно использовать раздельное письмо, что все и делают: НИ ПОЧЕМУ.  Здесь НИ – не приставка, а частица.
А вот и примеры:
«Швейцар долго не хотел нас впускать, просто так, ни почему, и мы жалко и без обиды толклись у дверей... [Булат Окуджава. Искусство кройки и житья (1985)]
― Витюша, почему ты получил сегодня двойку по поведению? ― Ни почему мам, ― мгновенно ответил сын. [М. Б. Бару. Навоз божьих коровок // «Волга», 2012]
― Почему? ― Ни почему! Просто не надо ― и всё! [С. И. Шуляк. Квартира номер девять. Роман с чертовщиной // «Волга», 2013]