В каких случаях в английском языке употребляется время Future in the past?
Приведите конкретные примеры с переводом на русский язык?

Future-in-the-Past употребляется в сложноподчиненных предложениях, в которых в главном предложении глагол относится к одному из прошедших времен, например Past Simple, Past Continuous, Past Perfect. Например: 1.Он сказал, что пойдет в кино в воскресенье-He said he would go to the cinema on Sunday. 2.Девочка писала заявление, что будет участвовать в соревновании-The girl was writing an application she would took part in the competition. 3.Мама сказала, что бабушка призналась, что будет  печь пирог к Рождеству.  My mother told  our granny had confessed she would bike a pie for Christmas.
                                                                              

Строго говоря, в английском языке шесть времен Future-in-the-Past: четыре в активном залоге (Future-in-the-Past Simple, Future-in-the-Past Continuous, Future-in-the-Past Perfect, Future-in-the-Past Perfect-Continuous) и два в пассивном (Future-in-the-Past Simple, Future-in-the-Past Perfect). Таким образом, Future-in-the-Past это такая же грамматическая категория как и Present, Past или Future.
Дело в том, что Future-in-the-Past это способ преображения времен Future по "Правилу согласования времен", которое употребляется в сложноподчиненных предложениях, если глагол-сказуемое главного предложения стоит в одном из прошедших времен (как правило в Past Simple).
Чаще всего "Правило согласования времен" употребляется при переводе прямой речи в косвенную.
Образуется Future-in-the-Past очень просто: вместо "will" надо ставить "would" и все.
Например: Tom said, "I'll buy a new big house very soon" - Tom said (that) he would buy a new big house very soon. (Том сказал: "Я куплю новый большой дом очень скоро" - Том сказал, что купит новый большой дом очень скоро)