"Госсовет" пишется с заглавной или со строчной буквы?
"Госсовет" пишется слитно или раздельно?
В каких случаях как писать слово "Госсовет"?

Писать "гос совет" я точно не порекомендую. Есть слово "совет", но нет слова "гос".  Никогда не нужно злоупотреблять подобными сокращениями без точек. Такое написание станет ошибочным. Мы как бы создаём внезапно новое слово.
Нам осталось лишь определиться, нужна ли в слове "Госсовет" заглавная буква "Г"?
Дело в том, что соответствующий консультативно-совещательный орган существовал и в СССР, и в РСФСР, существует и в Российской Федерации. Да и в Российской империи он около ста лет существовал, будучи одно время частью парламента.
Принято писать либо "Государственный совет России", либо "Госсовет России". Это наименование конкретного органа. Если слово "Госсовет" окажется в середине предложения, прописная (то есть "большая") буква "Г", как правило, сохраняется.
Например:
Что такое Госсовет РФ?_
А как быть, если мы в своём тексте употребляем слово "госсовет" как орган какой-то страны, которую не уточняем? Тогда строчная буква "г" станет допустимой.