Как это решить Как правильно сказать: Я болел, но бюллетня у меня нет или нет бюллетеня?.

Лет 30 уже не слышал такого термина. Ностальгия охватила, по брежневскому совку.
Правильно надо говорить "У меня нет больничного листа".
Но если вы настаиваете на "бюллетене", то "у меня нет бюллетеня".
                                                                              

Имя существительное "бюллетень" (что?) заимствовано из французского языка, употребляется в нескольких значениях.
При этом вне зависимости от речевой ситуации во всех формах слова  беглость гласного "е" не наблюдается, поэтому вариант родительного падежа только один - бюллетеня (чего?).
Соответственно, грамматически верно такое предложение (в данно случае разговорного стиля):

Если бы проблема, как правильно построить фразу в данной ситуации, возникла у меня, я остановилась бы на следующей формулировке:
"Я болел, но у меня отсутствует бюлетень". Или: "Я болел, но бюлетень мне выдан не был, поскольку я не обращался за медицинской помощью".