О том, что не имеет никакой ценности, можно сказать: «Это гроша ломаного не стоит». Какой пример синонимичен по смыслу словосочетанию, выделенному в данном выражении?

• Выеденного яйца
• Дырявого ведра
• Каши из топора
• Синицы в руке
• Вчерашнего дня

Фразеологизм "Гроша ломаного не стоит" употребляется в случае, если речь идёт о чем-то, не представляющем особой ценности. Оно обозначает, что проблема совсем пустяковая. Рассмотрим какое из вышеперечисленных выражений схоже по смыслу с данным фразеологизмом.
Выеденного яйца не стоит.
Так говорят, когда хотят сказать о пустяке, на который не стоит обращать внимания.
Дырявого ведра.
Обладателю дырявого ведра нет никакой пользы от его присутствия, так как оно не выполняет своей функции.
Каши из топора.
Это выражение из известной сказки. Каши из топора не сваришь, если не положишь  в котелок чего-то более существенного.
Синица в руках.
Пословица звучит так: "Лучше синица в руках, чем журавль в небе". Означает она то, что нужно ценить то, что имеешь, а не гоняться за несбыточным.
Вчерашнего дня.
Выражение "Искать вчерашний день" обозначает невозможность вернуть то, что давно ушло.
Из вышеперечисленных выражений синонимичным выражению "это гроша ломаного не стоит" является "выеденного яйца".
                                                                              

О том, что не имеет никакой ценности можно сказать по-разному, в том числе с использованием идиоматических выражений. Благо русский язык весьма богат на идиомы.
Вместо выражения: "Это гроша ломанного не стоит" можно сказать "Это не стоит выеденного яйца". Также можно сказать: "Овчинка выделки не стоит", но в данном списке этого выражения нет.

Некоторые фразеологизмы имеют довольно много синонимов. Все дело в том, что фразеологизмы, как и слова, прошли долгий путь в истории, по разным дорогам к нам шагали.
Разбираемся со значением.
Ничего стоящего, короче говоря, не нужно даже заострять внимания.
Поэтому выбираем про выеденное яйцо
Первый вариант.