Фразеологизмы и крылатые выражения со словом заяц
Их значение и примеры

Слово "Заяц" может означать безбилетника, а может труса или  очень быстрого человека( умчался, как заяц).
"Петлять зайцем", значит, бежать не по прямой линии, а зигзагами.
"Заячьи уши торчат", значит, плохо спрятано.
" Заячья душа", тоже означает трусливого человека.
"Убить двух зайцев"- значит, одним поступком, приказом или действием решить два дела сразу.
"Гоняться за двумя зайцами"- пытаться одновременно решить несколько дел.
За двумя зайцами погнишься, ни одного не поймаешь...
Заяц- беляк, заяц- русак, заяц косой.
"Спать как заяц", означает спать с открытыми глазами, у зайцев действительно есть такая особенность.
                                                                              

Можно вспомнить несколько фразеологизмов, в которых присутствует слово "заяц". Один из самых популярных - "За двумя зайцами погонишься, ни одного не поймаешь". Если выполнять два действия одновременно, или сразу пытаться достичь двух противоположных целей, то не достичь успеха ни в одном из двух дел.
"Труслив, как заяц". Так говорят о робком человеке, несмелом, который всего боится.
"Двух зайцев убить одним выстрелом". Так говорят, когда одно действие или принятое решение разрешает сразу две, а то и несколько проблем.
"Жаден, как волк; труслив, как заяц". Так можно сказать о человеке, у которого много амбиций, но который боится что-либо предпринять для их реализации.
"Заяц в транспорте", "ехать зайцем" - означает ехать без билета, не оплатить поездку.
"Заячья душа" - трусливый, малодушный человек.
"Поймать двух зайцев" - достичь двух целей.

Какие отличительные свойства зайца используются во фразеологизмах: быстро бегает, но трусливый, меняет окраску зимой и летом.
Довольно много устойчивых сочетаний в русской речи со словом «заяц», в предыдущих ответах уже почти все написали.
Мои примеры ниже.
Дрожать как заяц - про ситуацию, когда страшно. 
Трусливый, как заяц - про боязливого человека.
Заячья душа - про нерешительного человека.
Заяц-безбилетник - про тех, кто едет на транспорте без билета.
Погнался за двумя зайцами - взялся сразу за два дела, но ни одно не доделал.
Убил (или поймал) двух зайцев - смог справиться сразу с двумя делами.

Прыгать, как заяц. Это значит прыгать легко, высоко, далеко... Не только в прямом смысле, но и в переносном (например, с темы на тему).
Во фразеологизмах с зайцем обыгрывается трусливость зайца, и его быстрота - он чуть что пускается наутек.
Проехать зайцем, пройти зайцем - тайком без билета проехать в транспорте или пробраться без билета в кино или на концерт или еще куда-нибудь.
Дед Мазай и зайцы - тоже устойчивое сочетание на основе литературного произведения. Может употребляться иносказательно, когда вынуждено зайцы, готовые разбежаться врассыпную доверились деду и позволили себя посадить в лодку.
На удивление, фразеологизмов со словом заяц очень мало.
Пуганый заяц и пенька боится. О трусости и недалеком уме зайца - не думать что перед ним, а сразу бежать.
Подстреленный заяц недалеко бежит. Человека, которого поразила уже одна беда, другая беда может и сломать. Не вторая, так третья...

В русском языке есть немало фразеологизмов со словом "заяц". Словом заяц в русском языке может обозначаться трусливый человек, заяц может быть безбилетный человек, который едет на транспорте не оплачивая проезд.
Фразеологизмы с этим словом такие:
Труслив, как заяц. (Так говорят о человеке, который всего боится). Заячья душонка. (Мелочный человек, человек который всего боится, не имеет принимать решений). Убить двух зайцев. (Так говорят обычно о таких ситуациях, когда сделав что-то одно, какое-то одно дело, получается решить несколько вопросов сразу). Подстреленный заяц. (Слабый человек у которого всё не складываются).

Заяц - распространенное животное на большей части территории России, поэтому и поговорок, пословиц, а также фразеологизмов про зайцев, со словом "заяц" много.
Вот лишь некоторые, перечислю:
1) Быстро заяц бегает, да дешево стоит.
2) Где заяц ни бегал, а в тенета попал.
3) Блудлив как кот, труслив как заяц.
4) Заяц самого себя боится.
5) Жаден, как волк, а труслив, как заяц.
6) Вор что заяц: и тени своей боится.
7) Пуганый заяц и пенька боится.
И заяц умен, да задним умом.
В них заяц характеризуется как трусишка, пугливое создание, с ним ассоциируют человека несмелого, трусливого.
В других случаях заяц - синоним человека, который ничего из себя не представляет.

Русский язык достаточно богат и разнообразен. Практически к любому русскому слову можно подобрать несколько хороших фразеологизмов.
Если говорить о существительном "Заяц", то можно подобрать такие фразеологизмы.
Трусливый как заяц (человек труслив, а зайцы быстро бегают и практически всегда убегают при опасности). Убить двух зайцев сразу (человек выполнил два дела одновременно, а мог бы сделать только одно).Заячья душа (душа труса).

Фразеологизмы со словом заяц:
заяц самого себя боится - трусливый, робкий;жаден как волк, а труслив как заяц - трусливый, робкий;зайцу да воробышу, третьему приемышу – нет житья на свете хуже - слабый, несчастный;подстреленный заяц недалеко бежит - слабый и несчастный (иногда такому человеку сочувствуют, иногда его осуждают);и заяц умен, да задним умом - немного глупый, недотёпа;цена зайцу 2 деньги, а бежать – 100 рублев - быстрый, ловкий;без собаки зайца не поймаешь - быстрый;лиса живет хитростью, а заяц прыткостью - быстрый;трусливый как заяц - о трусливом человеке;убить двух зайцев - выполнить два дела;гоняться за двумя зайцами - пытаться выполнить два разных дела;ехать зайцем - ехать в общественном транспорте без билета;заячья душа - трусливый человек;волом зайца не нагонишь -  о медлительности человека.

Со словом заяц есть следующие фразеологизмы:  "убить двух зайцев" что означает-сделать два дела одновременно. Заячья душа , так говорят о трусливом человеке. Проехать зайцем употребляется в значении проехать в транспорте без билета.

Фразеологизмов довольно много, но не все они действительно актуальны.
Смотрел не так давно ролик, где мать зайчиха защищает своих зайчат от змеи, от хищной птицы, ни о какой трусости там и речи быть не может.
"Труслив как заяц" (см. выше, я с этим не согласен).
"Убить двух зайцев" (это значит человек выполняет сразу несколько дел одновременно).