ДОБРЕЕ стал мир вокруг меня.

Важно, что слово, морфологическую принадлежность которого нужно определить, дано в контексте.
Именно он позволяет точно сказать, к какой части речи относится словоформа "добрее". Для этого установим синтаксическую роль слова.
Вариантов несколько: можно мысленно выполнить разбор предложения по составу, можно просто вычленить требуемое слово вместе с тем, от которого оно зависит.
В любом случае  выясняем, что "добрее" является именной частью составного именного сказуемого "стал добрее". Подлежащее - "мир". Мир стал каким? - добрее.
Это сравнительная степень качественного прилагательного "добрый" (ср. мир добрый - добрее - самый добрый/добрее всех/добрейший).