Как правильно: навьючевать или навьючивать?
Через Е или И?
НавьючИвать или навьючЕвать?
Как объяснить правописание?

Вообще в случае с подобными словами я бы рекомендовал просто читать больше классической литературы, и мозг сам постепенно запомнит правописание в таких тяжелых случаях.
Часть слова, которая нас интересует больше всего - это суффикс. Правило, касающееся суффиксов -ива-, -ыва-, -ева-, -ова-, гласит, что проверочное слово должно быть в форме первого лица единственного числа настоящего или будущего времени. Пример: вырисовывать (начальная форма) - вырисовываю (проверочное слово). Если глагол в проверочном слове оканчивается на -и(ы)ваю, то и пишем соответствующе, а если на -ую (юю), то пишем суффикс -ова- или -ева- в проверяемом слове.
Попробуем. Навьючивать - навьючиваю. Суффикс -ива-.