Как это решить Достигать своих целей или достигать свои цели? Как правильно? Почему?.

В данном случае нужно исходить из того, каким падежом управляет глагол "достигать" (что делать?).
Современные грамматические нормы указывают родительный, т.е. управляемое слово отвечает на вопрос "чего?".
Следовательно, верный вариант -