Как правильно пишется: "двоиться" или "двоится"?
С мягким знаком или без него?
Какие правила?
Примеры предлжений.

Сначала правило.
Чтобы узнать, нужен ли мягкий знак в глаголе, надо поставить к этому глаголу вопрос- что делать? Или- что делает? В зависимости от слова.
Если в вопросе есть мягкий знак, то и в слове его тоже нужно писать.
Разберем правило на двух примерах.
У него двоится в глазах от недосыпания. Вопрос:
В глазах (что делает?) двоится. В вопросе мягкого знака нет, поэтому и глагол -двоится- пишется без мягкого знака.
У него стало двоиться в глазах от недосыпания. Вопрос: стало (что делать?) двоиться.
В данном случае в вопросе присутствует мягкий знак, поэтому и глагол -двоиться- пишется тоже с мягким знаком.