Как следует писать правильно "согласно экспертизы" или согласно экспертизе"?
Какое окончание следует писать "ы" или "е"?

Это сочетание слов можно назвать «камнем преткновения», - даже в телепередачах типа «Зал суда», «Суд идет» и проч., практически не слышала, что его произнесли правильно.
Так и слышишь: «Согласно экспертизы», - что является в корне неверным.
Производный предлог «согласно» - это предлог дательного падежа с вопросом к следующему за ним слову – чему?(кому?). И никогда не родительного.
Поэтому единственно правильным  будет словосочетание – «согласно экспертизе».
Приведем примеры предложений:
Согласно экспертизе выявлены нарушения по правам потребителей. Согласно проведенной экспертизе, подозреваемый был на месте преступления не один.                                                                              модератор  выбрал этот ответ лучшим

Предлог "согласно" в русском языке всегда используется с существительным. И при этом часто возникает сложность в определении правильного окончания существительного.
В русском языке на этот счёт имеется соответствующее правило: имя существительное с предлогом "согласно" всегда должно быть в дательном падеже.
Этому падежу соответствуют вопросы "Кому?" и "Чему?".
В проверяемом нами словосочетании существительным является слово "экспертиза". В дательном падеже оно будет писаться как "экспертизе".
Поэтому правильным вариантом написания словосочетания будет "Согласно экспертизе".
Написание "Согласно экспертизы" является ошибочным.

Согласно экспертизЕ
(кому-чему)
"Ы" раньше было распространено
в канцелярско-безграмо�тном языке
(оно и тогда уже не было нормой).