Как будет правильно: фасованый или фасованный?
С одной Н или с двумя НН?
Какая это часть речи?

В зависимости от грамматических признаков слово «фасован(н?)ый»  может являться как отглагольным прилагательным,  так и страдательным причастием прошедшего времени. Они образованы от  глагола несовершенного вида – что делать? -  «фасовать».
Возьмем за основу правило орфографии, согласно которому отглагольные прилагательные и причастия на «-ованный» (также «-ёванный» и «-еванный») всегда пишутся с суффиксом «НН» - «фасованный». Еще примеры: «браковать – бракованный»; «баловать – балованный»; «корчевать – корчёванный»
Пример предложения с прилагательным и причастием «фасованный»:
Я обычно покупаю фасованный картофель. В магазин поступает товар, фасованный на производстве.                                                                               

Слово "фасова(н/нн)ый" относится к отглагольному прилагательному или же страдательному причастию и чтобы понять, сколько пишется Н/НН, как пишется "фасоваНый" или "фасоваННый", обратимся к правилам русского языка.
"Фасова(н/нн)ый" произошел от глагола неопределенной формы "фасовать", где применим правило  на "ованный/ёванный", где применяется удвоенная НН.
Пишем правильно: фасоваННый.
ФасоваННые финики из супермаркета всегда лежали на кухонном столе.

Фасованный- это прилагательное и пишется с 2- "НН".Может быть причастием ,но пишется также с 2-"НН"