В каких случаях пишется "не честность"?
В каких случаях правильно пишется "нечестность"?
Существительное "нечестность" пишется слитно или раздельно?

"Не" с существительным по правилам орфографии может образовывать как новое слово, так и нести функцию отрицания. От этих условий будет зависеть правильное написание слова.
Приставку "не" с существительным "честность" следует писать слитно - "нечестность", когда с ее помощью образуется  новое  слово, к которому можно подобрать синонимы: "подлость", "низость", "бесчестность", "лживость". 
Приведем поясняющий пример предложения:
Нечестность - это отрицательная черта характера человека. Когда "не", являясь уже не приставкой, а частицей, будет нести функцию отрицания, усиливаемую противопоставлением с союзом "а" или соотвтестующими наречиями (отнюдь, вовсе, далеко), тогда сочетание надо будет писать в два слова - "не честность".
Примеры предложений:
Это не честность, а настоящая подлость. С его стороны это вовсе не честность.                                                                               

Если есть отрицание, то слитно. Например
Если нет отрицания, то раздельно. Например