Как правильно пишется: "без ответно" или "безответно"?
Слитно или раздельно?
Какие правила написания?
Примеры предложений.

Слово "(без)ответно" - это наречие образа действия, отвечает на вопрос - как? или каким образом? Также слово может быть и кратким прилагательным среднего рода, вопрос к которому - каково? Обе части речи являются производными от полного прилагательного - какой? - "безответный".
Прилагатетльное "безответный" пишется слитно, следовательно и само наречие (или краткое прилагательное) тоже будем писать слитно - "безответно". Между приставкой "без" и словом "ответно" нельзя вставить ни вопроса, ни определяющего слова.
Значение слова  "безответно" - молча, покорно, смирно, беспрекословно.
Приведем примеры  предложений с этим словом:
Я думаю, что ты влюблен в Елену безответно. (наречие, вопрос - как?). Сколько ни звонил я в справочную службу, - всё было безответно. (краткое прилагательное, вопрос - каково?)

Правильно: безответно.
Проверка делается по способу образования: без/ответ/н/ый — безответн/о, то есть наречие сохраняет слитную форму написания прилагательного. "Без" здесь приставка.
Нужно отличать от падежной формы "оставить без ответа", где БЕЗ — это предлог.
Примеры: Он влюбился сразу, страстно и безответно. Мы долго, но безответно звонили в дверь.
Но: Мы долго, но без ответа звонили в дверь.