Объесться чего? или чем?
Какой падеж существительного?

Согласование в падеже - это ситуация, когда в словосочетании оба слова стоят в одном и том же падеже: старая калоша, мою тётю, непредвиденных обстоятельств и т. п.
У глагола нет категории падежа вообще, поэтому ни он не может согласовываться, ни с ним. Словосочетания, в которых глагол является главным словом, а существительное либо местоимение стоит в каком-либо падеже и является зависимым, относятся к типу синтаксическое связи "управление". Глагол управляет другой частью речи, которая в предложении обычно выполняет функцию дополнения.
В современном русском языке глагол объесться сочетается с существительным или личным местоимением в творительном падеже, но и употребление родительного относится к норме. Видно, что оно постепенно уходит из живой речи и сохраняется в устойчивом словосочетании "белены объесться", но ставить и другие существительные в род. п. не считается ошибочным!
Скриншот сделан со страницы портала грамота.ру, рамочка авторская.
                                                                              

Объесться можно- скорее чем-либо, например- пирожками, которые понравились очень, значит ты ими доволен остался, а- кем- чем уже творительный падеж оперирует.