"Улыбаясь, женщина обратилась к мужу" или "Улыбаясь, обратилась женщина к мужу"    И где допущены ошибки пунктуации?

В отличие от многих других повествовательных предложений, в которых подлежащее обычно предшествует сказуемому, в этих предложениях наблюдается обратный порядок  слов – они начинаются с обстоятельства образа действия, выраженного деепричастием: Как женщина обратилась к мужу? – улыбаясь. 
Отступление от обычного порядка слов (инверсия) используется  в качестве  стилистического  приёма выделения  отдельных членов предложения. Деепричастие  «улыбаясь» как обособленный второстепенный член  предложения выделяется запятой.
Средством смыслового выделения обстоятельства образа действия кроме постановки его в начале предложения является также и его отрыв от слов, к которым оно примыкает. Так что правильным по смыслу является  только первый вариант предложения: «Улыбаясь, женщина  обратилась к мужу».
                                                                              

Похоже на слова автора, тогда порядок слов зависит от положения прямой речи, например:
"Ты ведь еще побудешь с гостями" – улыбаясь, обратилась женщина к мужу. Здесь деепричастие находится в инверсированной позиции, действие подчеркивается.
Или:"Ты ведь еще побудешь с гостями" – обратилась женщина к мужу, улыбаясь. Это естественный порядок слов.
Улыбаясь, женщина обратилась к мужу: "Ты ведь еще побудешь с гостями?" Здесь один вариант.
А вообще порядок слов зависит от конкретной ситуации и определяется расстановкой ЛОГИЧЕСКИХ УДАРЕНИЙ.  Правила в данном случае мало помогают. Носители языка строят речь интуитивно, а изучающим язык нужен определенный навык.