Как будет правильно: не компетентно или некомпетентно?
Слитно или раздельно?
Некомпетентно или не компетентно?
Как объяснить правописание?

Слово компетентно в русском языке есть, значит, в зависимости от условий написание может быть как раздельным, так и слитным.
Рассмотрим вариант, когда данное слово является наречием. Как известно, наречия на -о/-е с не раздельно пишутся в двух основных случаях:
1) при наличии слов совсем, вовсе, далеко, нисколько и др. ( Комментатор вел себя далеко не компетентно, по мнению болельщиков. ),
2) при наличии противопоставления ( Он комментировал не компетентно, а как дилетант. ).
Если же перед нами краткая форма имени прилагательного компетентное, то в большинстве случаев, при отсутствии в предложении противопоставления, написание будет слитным.
Подобное поведение специалиста некомпетентно.
Его объяснение происходящего не компетентно, а совершенно невежественно.