Какой частью речи является слово "радостно"?
Примеры предложений.

Слово "радостно" является наречием разряда образа действия, образованным от качественного прилагательного "радостный" и отвечает на вопрос как? каким образом?
На душе было радостно и немного тревожно.
Дети радостно приветствовали Деда Мороза с Снегурочкой.
Однако, как и все качественные прилагательные слово "радостный" имеет краткую форму в зависимости от контекста.
Утро было радостно, ничто не предвещало беды.
                                                                              

Слово "радостно" - может быть разными частями речи, что будет определяться грамматическим значением слова.
1.Слово "радостно" - это наречие образа действия, неизменяемая часть речи, отвечает на вопрос - как? или каким образом?
Пример предложения:
Девушка посмотрела в раскрытое окно и радостно улыбнулась.2.Слово "радостно" также может являться кратким прилагательным среднего рода, полная форма которого - "радостный". Отвечает краткое прилагательное на вопрос - каково?
Например:
Выражение его лица на фотографии довольно и радостно.3.Также слово "радостно" может быть предикативом, обозначающим состояние живого существа.  Предикатив  используется в безличном предложении в функции сказуемого или его составной части.
Пример предложения:
Мне весело и радостно в кругу моих друзей.

Екатерина Вторая радостно встретила своего фаворита Григория Орлова.
Встретила как?Радостно.Наречие в этом случае.
Его лицо было радостно  и румяно.Лицо было какое\каково?Радостн�о.Здесь краткое прилагательное.