Можно ли сказать: "у больного нет запаха"? Не будет ли речевой ошибки?
А как сказать правильно?
Имеется в виду, что человек перестал ощущать запахи.

Выражение само по себе правильное, вот только имеет совершенно другое значение. Если "у человека нет запаха", значит, перестало пахнуть от него самого. Поскольку человеческое тело даже без примесей в виде духов/гелей для душа/пота и грязи имеет слабый естественный запах, тому, кто утверждает, что он этот запах даже при близком контакте с человеком не чувствует, стоило бы самому провериться на предмет болезни.
А вот если человек перестал ощущать запахи, правильнее говорить, что он "утратил/потерял нюх". Как вариант - пропало ощущение/чувство запаха, но никак не сам запах.

Все живые существа имеют запах. Его оставляем везде, где бы ни побывали. Более древние люди прекрасно по запаху находили друг друга. Человек, который даже умер всё равно продолжает источать запахи. У человека ет такого состояния, когда бы вы он не издавал запах. Если вы его не воспринимаете, то это ваша проблема и довольно серьёзная. Вам в таком случае следует обратиться к врачу. Во время коронавирусной инфекции одно из последствий - нарушение обоняния и вкуса.   

Запах это не орган обоняния, а наоборот, некое свойство объекта, которое можно получить через органы обоняния, то есть через нос.
У человека "нет запаха" буквально означает, что человек "ничем не пахнет". И более ничего.

Если вы хотите сказать, что человек не чувствует запахов, то лучше употребить фразу "пропало обоняние".