Как это решить В каких словах НЕ часть корня: невежда, несчастье, небо, нежность?.

Хочу начать с существительное "несчастье". Можно совершенно определённо сказать, что это слово является антонимом к существительному "счастье". И образовано оно при помощи приставки, которая не входит в состав корня.
Это единственное слово из предложенных четырех, у которого "не" не входит в состав корня, являясь приставкой.
Существительное "невежд/а" состоит из корня и окончания;  не употребляется это слово без "не".
Существительные "неб/о" и "нежн/ый" имеют простое строение: состоят всего из двух морфем -- из корня и окончания.
Из всего вышесказанного делается вывод: буквосочетание "не" является  частью корня в существительных 
невежда, небо, нежность.
                                                                              

Состав слова "небо":
корень - неб, окончание - о.Состав слова "нежность":
корень - неж,суффикс - н,суффикс - ость.Состав слова "небо" прост - корень "неб", всё остальное - окончание.
Слово "невежда" интереснее по составу. Хочется назначить корнем "вежд", но это будет ошибкой. Корень - "невежд".
Внимание, правильный ответ! НЕБО и НЕВЕЖДА.