"Тонкие ветки ив согнулись под снегом."
"Ив" является определением (ветки (чьи?) ив) или дополнением ( ветки (чего?) ив) ?
И ещё... Обстоятельство "под снегом" является обстоятельством места (где?) или обстоятельством образа действия ( как?) ( Ведь они согнулись из-за тяжести снега) ?

Слово "ив" в словосочетании "ветки ив" — это несогласованное определение. "Крыша дома", "рассказ писателя" и даже "корм для кота" — всё это примеры словосочетаний, где присутствуют несогласованные определения. Они не согласуются с определяемым словом. Это значит, что определяемое слово и определение вполне могут иметь разные роды́, разные числа, разные падежи; в общем, ничего общего в грамматических категориях. (Тем не менее вид связи в нашем словосочетании — управление, так как определяемое слово требует чаще всего родительного падежа несогласованного определения.) Правильный вопрос в данном случае будет именно "чей?", "чья?", "чьё?", "чьи?" (но не "кого?" и не "чего?"!). Т. е. ветки (чьи?) ив. Дело в том, что я когда-то задавал данный вопрос на проекте "Ответы@mail.ru" и мне очень толково и качественно объяснили упомянутый Вами синтаксический нюанс.
По поводу обстоятельства "под снегом" не уверен на 100%, но склоняюсь к тому, чтобы поддержать автора вопроса. Скорее это обстоятельство образа действия, нежели места. Можно заменить "под снегом" на "от снега" (согнулись от снега). Так что вопрос к обстоятельству в данном случае "как?", а не "где?". Пока что это будет моей точкой зрения, от которой я не желаю так просто отказываться.

Определение это почти всегда прилагательное,допол�нение-существительное