"В голубеющем просторе": как пишется, какое окончание и время причастия?
"В голубеющем просторе", какой падеж?

Определяем время причастия. Для этого выделим суффикс. В причастии "голубеющем" суффикс "-ющ-". Причастия с суффиксами -ащ-, -ящ-, -ущ-, -ющ-,  -  действительные причастия в настоящем времени.
Для определения падежа причастия и существительного, с которым оно согласовано, задаём вопрос. В чём? В просторе. Падеж предложный. "Простор" - м.р., II склонение. Окончание существительного II склонения в П.п. "-е", пишем "просторе". Задаём вопрос к причастию "в просторе каком?" - "голубеющем", окончание -ем, -ом у причастий в предложном падеже м.р. Пишем -ем.
Таким образом, правильно пишем "в голубеющем просторе", "голубеющем" - действительное причастие, настоящее время, словосочетание "в голубеющем просторе" в П.п.