Как можно назвать Байдена в статье: Джо или Джозеф?
В каких тестах писать "Джо Байден" и в каких "Джозеф Байден"?
Джо и Джозеф - какая разница с точки зрения русского и английского языков?

По сути вопроса.
Джо является краткой формой имени Джозеф.
Теперь несерьёзно.
Если Вы используете английский язык, то правильнее будет писать Джозеф.
А если использовать "американьский", то стоит писать Джо. На наречии государственного департамента США правильнее будет писать Ёся.
В русском языке имя Джо, как правило, не используется без прилагательных (лимонадный, неуловимый и т.д.).
А на языке международной политики все эти варианты неправильные.
Правильно писать Джимми (Джимми Картер). После последних "демаршей" по олимпиаде в Пекине по этому поводу сомнений в скором времени не останется.
Таким образом, правильный ответ на вопрос.
Стоит писать Джимми... и "не заморачиваться".