Как это решить Какая логическая связь между словами жить и дружить?.

Общее у этих глаголов только одно - оба они употреблены в форме инфинитива. Несмотря на то, что они имеют в составе созвучие "жить", слова эти родственными не являются и этимологически не связаны между собой.
Разбор слова дружить. Оно восходит к слову друг (от него - "дружба"), а друг (по одной из версий) - к слову другой. В древности "дугой" означало "второй". В ряде славянских языков это значение до сих пор таково. Например в чешском druhý - второй.
По иной версии, корень друг родом праиндоевропейского корня *dhreugh-"охранять", то есть тот, кто охранить и защитит в случае беды или опасности. От него значение — "боевой товарищ" "соратничество". И отсюда же - дружина.
При образовании от слова друг существительного дружба произошло чередование согласных в корне. Г в этих случаях часто меняется на ж или з: нога-ножной, юг - южный, друг - друзья. То же самое явление видим и в глаголе "дружить". При спряжении остаётся корень -друж-: дружу, дружим и т.д.
По этому же принципу от существительного слуга образуется служить.
Что касается "жить", то он состоит из корня -жи- и постфикса -ть, который отделяется при спряжении: живу, живёт и т.п. От этого же корня произошли жизнь, жив, выживший, живот и даже жир.
Жить, прожить, прожить, дожить, выжить - родственные, а жить, дружить, закружить, заворожить, служить - нет (они всего лишь созвучные).
Если говорить о логике, то можно, при желании совместить эти два слова или его производные в единое целое. Например: жить дружно, жить в одном городе и дружить семьями.